28/12/2014

La conjecture de Goldbach est-elle vraie?

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Tout nombre pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers: cet énoncé a beau avoir l’air tout simple, il n’est toujours pas démontré aujourd’hui. Ce séduisant graphique de forme triangulaire illustre cette affirmation, plus connue sous le nom de conjecture de Goldbach. Sur les côtés gauche et droit de notre schéma, on remarque la succession de tous les nombres premiers jusqu’à 47 (ou plus petits que 50, ce qui revient au même). Au centre du triangle, le résultat de leurs additions (ou plus précisément toutes les solutions de l’équation 2N = p + q avec p et q premiers), visibles à travers les lignes bleue et rose qui se croisent. Les nombres qui en résultent sont tous pairs, ce qui est logique, la somme de deux premiers supérieurs à deux, donc l’un et l’autre impairs, engendrant forcément un résultat pair, comme (dé)montré ci-dessous.

(2k + 1) + (2n +1) = 2k + 2n + 2 = 2 x (k + n + 1)

On note encore que tous les nombres pairs jusqu’à 50 se retrouvent dans cette liste. Et que les lignes grises figurant à côté comportent toutes au moins un point de croisement. Ce constat nous amène naturellement à la fameuse conjecture de Goldbach.

En 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach (1690 – 1764) écrivit une lettre à Leonhard Euler, lui proposant la conjecture suivante : «Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers». Ce à quoi Euler répondit que cette affirmation découlait d’un autre énoncé, à savoir que tout nombre pair (supérieur à 3 dans la formulation actuelle, comme dit au début de ce billet) peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Tel est le point de départ d’un problème insoluble qui est en réalité le cas particulier d’une autre conjecture en rapport avec l’hypothèse H de Schinzel (sur laquelle je consacrerai un billet l’année prochaine). Il existe également des variantes de la conjecture et une version faible stipulant que tout entier supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Mais revenons à Goldbach. Depuis 2012, sa conjecture a été démontrée (par le mathématicien portugais Tomas Oliveira e Silva) pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 x 1018. En d’autres termes, pour démontrer sa fausseté (peu probable, mais sait-on jamais), il suffirait de lui trouver un contre-exemple, autrement dit un nombre pair supérieur à 4 x 1018 qui ne soit pas la somme de deux nombres premiers. Si ce nombre existe, il est donc énorme. Et si on ne le trouve jamais, la conjecture est donc vraie.

On peut également étudier le problème en passant par la quantité de partitions correspondant à chaque nombre N. Elle est généralement notée r(N). Pour la définir, un exemple suffira. Prenons le nombre 100. On peut l’écrire comme suit :

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

Au total, il y a donc six partitions, six façons d’écrire 100 comme somme de deux nombres premiers. Autrement dit, pour N = 100, r(N) = 6. En toute légitimité, on peut dès lors supposer que plus N est grand et plus r(N) le sera aussi. (Le cas r(N) = 0 infirmerait évidemment la conjecture.) Assertion que le tableau ci-dessous, appelé comète de Goldbach, semble confirmer.


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Et pourtant, malgré tout cela, la conjecture n’est toujours pas démontrée !

En recherchant sur le net, on s’aperçoit qu’il existe plusieurs démonstrations en ligne de la conjecture. Aucune n’a pour l’instant été validée. En revanche, la version faible de la conjecture serait démontrée depuis 2013. Dans la liste des problèmes de Hilbert, la conjecture de Goldbach porte le numéro 8, qu’elle partage avec l’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux.

 

 

 

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21/12/2014

L'identité d'Euler, manifeste du génie helvétique?

 

euler_t_shirt.jpgOn la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs. euler_sac.jpg


Et même des coques de smartphones.

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Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.

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Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:

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C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.

0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.

Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.

e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.

Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.

La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)

mathrm e^{mathrm ix} = cos x + mathrm i sin x ,!

et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,

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on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.

D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.

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18/12/2014

Europe, un espoir pour le futur?

europe.jpgSurpopulation et explosion démographique sont des termes à peu près identiques. A l'échelle du globe, ils signifient que tôt ou tard, il y aura trop d'habitants et pas assez d'espaces habitables pour les abriter. Alors il faudra peut-être songer à aller voir ailleurs. Si les planètes habitables (à supposer qu'il en existe) des galaxies lointaines sont totalement inaccessibles pour notre technologie, il y a peut-être des ouvertures plus proches de la Terre. Au moment où le robot Curiosity a détecté du méthane en quantité importante sur Mars (gaz généralement produit par la fermentation de matières organiques animales ou végétales), possible preuve que la vie a pu y naître un jour, ou qu'elle y subsiste encore sous une quelconque forme, la sonde Galileo a récemment pris des clichés d'Europe. En voici deux.

Europe, satellite de Jupiter, le sixième plus gros du système solaire, d'un diamètre de 3121 kilomètres, révèle petit à petit ses secrets. Dont la présence d'un océan d'eau salée et de vastes lacs sous-marins traversés par des courants. Mieux, suite aux dernières analyses publiées en septembre, on apprenait que la croûte de glace qui le recouvre serait animée d'une tectonique des plaques analogue à celle que nous connaissons sur la Terre. En d'autres termes, Europe est peut-être habitable. Mais pour en avoir le coeur net, il faut aller voir sur place. Aussi la Nasa prévoit d'y envoyer des sondes en orbite, et pour certaines, de s'y poser puis de l'explorer. Parmi celles-ci, Lander, qui devrait y passer une trentaine de jours, et le Robot Valkyrie, qui prévoit même de forer sa couche glacée. La date de lancement de Lander est fixée en novembre 2021 et son atterrissage sur Europe en septembre 2029. En revanche, aucune date n'est encore arrêtée pour le lancement du Robot Valkyrie. Affaire à suivre? Oui, mais pas dans l'immédiat.

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