14/12/2014

Combien y a-t-il de nombres parfaits?

 

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Il en va des nombres comme des organismes vivants. Certains sont dotés de propriétés singulières ou remarquables qui les rendent uniques. Nombres amicaux, sociables, chanceux, palindromes, pyramidaux, primoriels, automorphes, étranges, intouchables, ou, du nom de leurs découvreurs, nombres de Mersenne, de Sophie Germain, de Fibonacci, de Liouville ou de Fermat, les catégories ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur les nombres parfaits, lesquels font toujours à l’heure actuelle l’objet de recherches incessantes.

Le petit tableau ci-dessus donne une idée de leur définition (ligne du milieu). Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (ou stricts). On peut aussi définir un nombre parfait par la formule suivante : σ(n) = 2n, σ(n) désignant la somme de tous les diviseurs positifs de n. Prenons le cas de 6, qui est le premier nombre parfait connu. La somme de ses diviseurs stricts donne 1 + 2 + 3 = 6. Et σ(n) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, qui est bien égal à 2n (2 x 6).

Lorsqu’on monte un peu dans la progression des nombres, on note très vite que les nombres parfaits sont extrêmement rares. Les quatre premiers sont 6, 28, 496 et 8128. Ils sont tous pairs. Dans l’histoire des mathématiques, leur apparition a lieu très tôt. Nicomaque de Gérase (vers 150 – vers 196) cite ainsi les quatre premiers nombres parfaits dans un traité d’arithmétique, mais Euclide en parlait déjà dans l’un des livres de ses Eléments (IIIe siècle av. J.-C.) Le cinquième nombre parfait est cité dans un manuscrit du XVe siècle. Et les deux suivants furent découverts par Pietro Cataldi en 1588. Quant au huitième, il sera trouvé par le Suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Euler ira même plus loin, en affinant une égalité démontrée par Euclide et qui peut se formuler ainsi :

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.12.57.pngEt ce qu’il y a d’intéressant, c’est qu’on retrouve ici les nombres dits de Mersenne (du nom de leur découvreur, Marin Mersenne (1588-1648), dont je reparlerai bientôt), c’est-à-dire les nombres premiers qui peuvent s’écrire sous la forme suivante, avec n premier:

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La démonstration d’Euler nous apprend surtout que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. En revanche, on ne connaît, à ce jour, aucun nombre parfait impair et on ignore s’il en existe. Actuellement, 48 nombres parfaits ont été découverts. On conjecture qu'il en existe une infinité. Le dernier en date a été calculé en janvier 2013 à partir du 48e( ?) nombre de Mersenne que voici,

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lequel se compose de plus de 17 millions de chiffres (17 425 170 exactement). Il s'agit également du plus grand nombre premier connu. Et le jour (proche, je l'espère) où des ordinateurs dûment programmés pourront calculer un nombre de Mersenne supérieur à celui-ci, il en découlera la découverte d'un nouveau nombre parfait.

Quant aux nombres abondants et déficients, cités dans le tableau du haut, vous n'aurez aucune peine à déduire leur définition.

 

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07/12/2014

Le théorème des nombres premiers a-t-il livré tous ses secrets?

 

Capture d’écran 2014-12-06 à 01.49.49.pngInterrogations, conjectures, suppositions, mystères. Même si leur infinitude est prouvée depuis des millénaires, les nombres premiers continuent à faire de la résistance. Existe-t-il une fonction qui les engendre tous, si possible dans l’ordre ? Une équation polynomiale simple ne comportant que des premiers comme solutions ? Comment se comportent leurs écarts successifs lorsqu’ils tendent vers l’infini ? Toutes ces questions sont à ce jour sans réponses. Le graphique ci-contre présente deux courbes, l'une régulière, l'autre moins. La rouge désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x. La bleue correspond à la courbe d’équation de la fonction logarithmique x/log(x). On remarque qu’elles sont très proches l’une de l’autre. Qu’elles se touchent presque par endroits.

On sait que les nombres premiers se raréfient à l’approche de l’infini (encore que leur apparition, dans de très grands intervalles, demeure souvent aléatoire), ce qui peut sembler logique. En clair, plus un nombre est grand et moins il y a de chances qu’il soit premier. La question de leur fréquence et de leur répartition est depuis longtemps un point essentiel de la recherche en théorie des nombres. C’est au XIXe siècle qu’a été démontré, à la fois (et indépendamment) par le Français Jacques Hadamard (1865 - 1963) et le Belge Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962), le théorème des nombres premiers, lequel permet une approche assez précise et fiable de leur distribution asymptotique. Il illustre exactement ce qu’établit le graphique ci-dessus et s’énonce par la formule qui suit:

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Ici, le symbole Pi ne désigne pas le célèbre nombre transcendant que tout le monde connaît, mais le nombre de premiers inférieurs à n, et ln est la fonction logarithmique naturelle (courbe bleue ci-dessus). On peut également formuler le théorème en disant que pour un P premier assez grand, l’intervalle {1,…, P} contient environ P/log (P) nombres premiers. D’autres formulations encore plus précises font appel à un symbolisme mathématique qui viendrait sans doute alourdir ce billet en m’obligeant à expliquer des notions que je n’aborde pas pour cette fois.

Cela étant, l’observation graphique ne constitue pas une preuve, même si la formule est «aisément» déductible du comportement de nos deux courbes. Pour établir cette égalité, il a donc fallu la démontrer. Je ne vais pas tenter de résumer cette démonstration, trop complexe pour ce billet, mais me contenter de dire qu’elle fait appel à plusieurs égalités ou fonctions fondamentales en mathématiques. A commencer par la célèbre fonction zêta de Riemann que voici :

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qui est une somme infinie (comme l’indique le Sigma majuscule) dans laquelle les n désignent les entiers naturels de 1 à l’infini alors que les s sont des nombres complexes de la forme a + bi avec i désignant le nombre imaginaire, soit la racine carrée de – 1. A priori, on peut se demander ce qu’elle a de commun avec les nombres premiers. Enormément de choses, et c’est le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) qui va le démontrer en établissant que la fonction de Riemann est équivalente au produit infini ci-dessous :

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Vous suivez ? Si vous êtes arrivés jusque là, je suppose que la réponse est oui. Le Pi majuscule désigne là un produit infini, et ce qu’il y a de remarquable, c’est que ce dernier s’établit cette fois pour tous les p premiers et non pour les n entiers. Cette merveilleuse égalité relie tout simplement les deux. Montre un lien entre les entiers et les premiers. Ce qui est aussi miraculeux qu’inouï. En résumé, la démonstration du théorème des nombres premiers va faire avancer d’un bond énorme la théorie des nombres. Et laisser entrevoir la perspective d’une possible répartition logique des nombres premiers sur la droite menant à l’infini. Mais pour cela, il sera nécessaire de se pencher sur la célèbre hypothèse de Riemann, Graal absolu des mathématiques, puisque toujours irrésolue, et ce sera dans un billet futur.

 

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30/11/2014

Qu'y a-t-il au-delà de l'infini?

 

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Ce symbole, parfois appelé lemniscate, représente l’infini. Ce n’est pas à proprement parler un nombre, mais plutôt un concept dont la réalité mathématique est indéniable. Il est au cœur des recherches du mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, photo ci-dessous), Cantor.jpgconnu pour avoir notamment créé la théorie des ensembles. Mais aussi les nombres transfinis et une conjecture célèbre plus connue sous le nom d’hypothèse du continu. Celle-ci est même le premier problème de la fameuse liste de Hilbert, qui en compte 23. L’hypothèse du continu stipule qu’il n’existe pas d’ensembles dont la «taille» se situe entre celle de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des nombres réels.

Pour mieux la comprendre, il faut rappeler ici différentes notions. L’ensemble des entiers naturels est simple à définir. Il désigne l’ensemble des nombres entiers positifs et s’écrit généralement comme suit :

= {0,1,2,3,4,5,6,7,…}. Il compte un nombre infini d’éléments, ce qui est aisé à démontrer, puisqu’on peut toujours, pour tout n ∈ , déterminer un élément n + 1 qui se trouve à son tour dans . Et ainsi de suite à l’infini.

L’ensemble des nombres réels, noté , regroupe tous les nombres pouvant être représentés par une partie entière et une partie (finie ou non) de décimales. Il inclut aussi bien les nombres rationnels et irrationnels que les nombres transcendants comme π ou e (base du logarithme naturel). Ses éléments sont évidemment en nombre infini et on remarque très vite que (ce qui signifie que est inclus dans ).

Leur taille se déduit de leur cardinalité. Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre d’éléments que compte cet ensemble. Dans le cas de et , ce cardinal est clairement infini. Pourtant, compte de toute évidence davantage d’éléments que . Comme s’il y avait, en gros, différentes sortes d’infinis selon la taille des objets que l’on observe. Mais la différence entre et , c’est aussi que le premier est dénombrable et pas le second. Qu’est-ce à dire ?

Pour faire simple, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut compter et ordonner les éléments. Et un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels . Une bijection est une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B pour laquelle à chaque élément de A correspond exactement un et un seul élément de B. Exemple simple : peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs, via la fonction f (x) = 2x pour laquelle on fait correspondre, à chaque élément de départ dans , son double. On dit dans ce cas que les deux ensembles sont équipotents. En revanche, n’est pas dénombrable et aucune bijection avec n’est possible. Aussi petit soit-il, n’importe quel intervalle de la droite des nombres réels contient en effet d’autres nombres.

Mais revenons à Cantor. Ce dernier s’interrogea sur les cardinaux respectifs de et . Il appela le cardinal de aleph-zéro et le nota aleph_0, du nom de la première lettre de l’alphabet hébraïque. Et comme tous les éléments de couvraient en continu la droite des réels, il nomma son cardinal le continu, l’abrégeant simplement par la lettre c. Puis s’en vint à se demander s’il existait un ensemble dont le cardinal était compris entre ces deux-là. C’était l’hypothèse du continu, qui peut se résumer par cette magnifique formule :

2^{aleph_0} = aleph_1

 

Elle fait du reste appel aux propriétés liées à l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble, dont je parlerai dans un futur billet, et à l’axiome du choix.

En 1963, Paul J.Cohen, un mathématicien américain, parvint à résoudre l’hypothèse du continu en montrant qu’elle était indécidable. Autrement dit qu’on ne pouvait prouver ni sa vérité ni sa fausseté. La question n’est pas pour autant fermée aujourd’hui. Et certains pensent que de nouveaux axiomes pourraient rendre l’hypothèse vraie. La suite dans le courant du XXIe siècle ?

 

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