24/07/2016

Pourquoi les nombres de Liouville nous fascinent-ils?

factorielle.jpgA chaque langage ses conventions, ses symboles, son vocabulaire. Celui des maths n’y fait pas exception. Un exemple au hasard. Placé après un nombre (ou chiffre), le point d'exclamation exprime une factorielle. Le petit tableau ci-dessus permettra de comprendre la notion de factorielle sans qu'il soit nécessaire de l'assortir d'une longue explication. Produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n, la factorielle n ! s'utilise en combinatoire, mais pas seulement. Sa stricte définition se traduit par la formule ci-dessous, où le Pi majuscule désigne un produit sur un intervalle donné, parfois infini (à l'instar du sigma majuscule pour l'addition).

déf fact.png

Plus intéressant, observons les sommes des inverses des factorielles via cette forme générique :
inverses fact.pngLe cas x = 1 nous permet de retrouver une vieille connaissance :

esomme.pngSoit la constante e, nombre transcendant (mais n'anticipons pas) et base du logarithme naturel. Il est la somme de cette série, qui consiste en fait à décomposer la fonction logarithmique en série entière. On peut dès lors constater que les inverses des factorielles donnent les coefficients du développement de la fonction exponentielle. Plus simplement:plusimple.pngMais venons-en à Liouville. Dans un roman paru récemment, La Formule de Stokes, roman, audin.jpgque je vous conseille fortement, la Française Michèle Audin rappelle la beauté du plus connu des nombres de Liouville, parfois surnommé constante de Liouville. Célèbre mathématicien français, Joseph Liouville (1809 – 1882, portrait ci-contre) liouvilleportait.jpegs’est en effet intéressé à des nombres relativement proches des séries logarithmiques vues ci-dessus. Leur forme générique est donnée par la formulegénérique liouville.png

 

 

 

avec b plus grand que 1 et les ak compris entre 0 et b – 1.

Le plus fameux de ces nombres est donc la constante de Liouville :

constanteliouville.png

Les positions des 1, de plus en plus espacés parmi les 0, y correspondent aux factorielles successives de l'ensemble des entiers naturels. Magnifique, non ? Il s’agit là d’un nombre réel mais surtout de l’un des premiers exemples de réel transcendant, c’est-à-dire, par opposition aux nombres algébriques, qu’il n’est racine d’aucune équation polynomiale. La chose se démontre aisément, et vous en trouverez facilement la preuve sur plusieurs sites, preuve que je ne reproduis pas ici afin de ne pas rallonger ce billet. La transcendance du nombre e ne sera quant à elle établie que plus tard, soit en 1873. L’ensemble des nombres de Liouville, qui se construisent tous sur le même modèle, a par ailleurs la puissance du continu. Autrement dit, il est équipotent à celui des nombres réels. J’avais déjà consacré un billet à ces passionnantes questions de cardinalité et de hiérarchie dans les infinis et y reviendrai d’ailleurs bientôt. Au XXe siècle, le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a démontré que tout nombre réel non nul peut s’écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. Problème ardu sur lequel j’espère revenir dans un prochain billet.

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14/07/2016

Et hop, une planète naine de plus dans le système solaire!

naine.pngLe tracé orange sur le graphique ci-dessus dévoile son orbite. Son nom ? 2015 RR245. Bien sûr, il est provisoire. Et désigne une nouvelle planète naine qu’on vient de découvrir dans notre système solaire. Elle se trouve encore plus loin que Neptune ou Pluton. On estime sa taille à 700 km. Détectée par un programme de recherches sur les traces du relevé des origines du système solaire externe, 2015 RR245 est un objet transneptunien. Près ou à l'intérieur de ce qu’on nomme la ceinture de Kuiper, ceux-ci semblent fort nombreux, sont les plus primitifs du système solaire et orbitent donc très loin. Découverte en février de cette année, 2015 RR245 possède une orbite très elliptique (on le voit clairement sur le schéma) dont la période avoisine les 700 ans. On suppose que cette orbite est stable depuis environ 100 millions d’années. Elle atteindra son périhélie (position la plus proche du soleil) en 2096. Elle demeure néanmoins, avec Pluton et Eris, l’une des plus grosses planètes naines découvertes parmi les objets transneptuniens. Rappelons que cinq planètes naines ont été répertoriées à ce jour dans le système solaire : Pluton, Eris, Makémaké, Haumea et Cérès, dont il fut souvent question dans ce blog. Mais il existe 404 objets transneptuniens qui pourraient être des planètes naines potentielles. Parmi ceux-ci, Charon, Sedna et Salacie. La liste changera sans doute dans les mois à venir. Je vous tiendrai au courant.

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12/07/2016

La planète aux trois soleils existe, on l'a détectée

3soleils.jpgLà-bas, il y a trois levers et couchers de soleils par jour. Là-bas encore, les jours en question excèdent l’échelle de vie humaine et durent chacun plusieurs centaines de nos années terrestres. Et il y fait environ 580°C (température de surface). Nous sommes sur HD131399Ab (tout à gauche sur cette vue d’artiste ci-dessus), à environ 320 années-lumière de la terre, dans la constellation du Centaure. Pas très loin ? Non, mais hors de portée, du moins à une échelle non relativiste. Cette exoplanète présente la particularité de posséder, donc d’orbiter autour de, trois soleils, ou étoiles. Via un instrument infrarouge lui permettant de détecter les signatures de jeunes planètes, le Very Large Telescope du Chili, sis dans les Andes, a permis de localiser cette singulière planète. Ce monde inconnu aux orbites a priori instables et au système sans doute lui aussi instable. Pour l’heure, plusieurs scénarios orbitaux se dégagent – il serait fastidieux de les détailler ici, aussi je ne le ferai pas -, et une quasi certitude, l’orbite que décrit cette planète possède une importante excentricité. Elle devrait même l’éjecter du système, mais ce n’est pas le cas. L’observation de tels systèmes dits à étoiles multiples, qui semblent beaucoup plus fréquents qu’on ne le suppose, revêt une importance capitale pour la compréhension des processus de formation planétaire, car il s’agit de cas extrêmes qui témoignent de la variété des systèmes existants. D’où l’importance d’en trouver et d’en observer d’autres, ce qui devrait être de plus en plus souvent le cas, vu l’inflation des moyens d’observation dont dispose désormais la communauté scientifique.

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