31/01/2017

La liste de Hilbert est-elle encore d'actualité?

hilbert2.jpgEn 1900, lors du deuxième congrès international des mathématiciens, David Hilbert, connu pour avoir développé l'axiomatisation de la géométrie et la théorie des invariants (entre autres), a proposé une liste de 23 problèmes alors non résolus. Je ne vais évidemment pas tous les citer dans le détail. Il faudrait de nombreuses pages pour cela, même de manière synthétique. Plus de 110 ans après, qu'en reste-t-il? Premier constat, onze d'entre eux ont été résolus, démontrés ou infirmés. Exemple avec le dixième, qui consistait à trouver un algorithme afin de déterminer si une équation diophantienne (ou polynomiale, avec plusieurs inconnues et des solutions entières) avait des solutions. L'affaire a été résolue en 1970 par Matiiassevitch, non sans utiliser pour cela les nombres de Fibonacci, sur lesquels je consacrerai un billet dans l'année. Résultat de ce problème, un tel algorithme est impossible à trouver.

Parmi les douze problèmes restants, l'un d'entre eux a été prouvé indécidable. Il s'agit de l'hypothèse du continu, souvent évoquée lorsqu'on parle des différentes formes d'infinis. Trois autres problèmes sont partiellement résolus, et deux autres sont à la frontière de l'indécidabilité, dont celui sur la différentiabilité des groupes de Lie. Enfin, le quatrième problème, à savoir définir toutes les géométries dont les géodésiques sont des droites, il a été jugé trop vague. Bilan des opérations, il reste encore cinq problèmes non résolus. Et en réalité sept!

Soit le 6e, qui consisterait à déterminer une axiomatisation de la physique sur la base d'un modèle mathématique. Le 12e, qui exigerait d'étendre le théorème de Kronecker-Weber à tous les corps de nombres. Le 16e, qui porte sur les courbes algébriques, et le 23e, qui aborde le calcul des variations. Et enfin, il y a le 8e. Désormais le plus célèbre de tous, puisqu'il contient le Saint-Graal. Pour une raison qui le regarde, et qu'on a le droit aujourd'hui de trouver absurde, Hilbert a en effet regroupé sous ce numéro trois conjectures qui entretiennent une certaine parenté, voire une parenté directe, les unes avec les autres. C’est-à-dire l’hypothèse de Riemann, la conjecture de Goldbach et la conjecture des nombres premiers jumeaux. J’ai dédié à ces trois problèmes ouverts bon nombre de billets dans mon blog, et j’en écrirai encore d’autres en cours d’année, mais on peut constater qu’aujourd’hui, l’hypothèse de Riemann, pour ne citer qu’elle, est un peu la star des conjectures en attente de résolution en mathématiques. Elle mériterait donc de figurer en première position dans semblable liste.

Cent ans après Hilbert, dont la liste est devenue obsolète, même si la résolution de plusieurs problèmes a considérablement favorisé les avancées mathématiques au XXe siècle, l’institut de mathématiques Clay a mis sur pied en 2000 une nouvelle liste, les problèmes du prix du millénaire. Ces sept défis réputés insurmontables sont dotés d’’un prix d’un million de dollars chacun pour celui ou celle qui les résoudrait. A ce jour, seul l’un d’entre eux, la conjecture de Poincaré, a été résolue. En tête de liste figure cette fois en toute logique l’hypothèse de Riemann, la plus convoitée et célèbre de toutes, talonnée par le crucial problème P = NP. Quant aux quatre autres, elles demandent un bagage trop conséquent pour être exposées ici.

21:34 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

19/10/2016

L'arrivée de Schiaparelli sur Mars est imminente mais on attend les images

schiaparelli.jpgLa sonde Schiaparelli (à savoir la capsule ci-dessus) devait se poser aujourd'hui sur Mars à 16 heures 48. Se poser ou s'écraser, puisqu'on attend toujours, au moment de la publication de ce billet, de savoir si l'atterisseur expérimental du programme ExoMars est bien arrivé à bon port. Contrairement au rover Curiosity de la NASA, Schiaparelli n'enverra pas d'images. En revanche, on aura des images de son "atterissage", en décalé, en raison de la distance qui sépare la terre de la planète rouge. Mais c'est pour le moment une affaire de minutes. Retour sur la mission dans un tout prochain billet. Plusieurs sites retransmettent l'événement en direct, dont celui-ci.

PS: Aux dernières nouvelles, le signal a été coupé, ce qui n'est pas très bon signe.

17:21 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (1) | |  Facebook | | | |

17/10/2016

L'univers observable comporte dix fois plus de galaxies qu'on ne le supposait

Observable_universe.jpgAinsi donc il y aurait, dans l’univers observable, non pas entre 100 et 200 milliards de galaxies, mais 2000 milliards, et sans doute un peu plus. Communiqués et publiés il y a quelques jours par une équipe d’astronomes, ces résultats révèlent une marge d’erreur par rapport aux estimations qui faisaient foi jusqu’alors. Marge conséquente, il y a dix fois plus de galaxies que prévues dans l’univers observable. Grâce à Hubble, le télescope spatial, on peut recevoir aujourd’hui des émanations d’énergie (ondes radio, gravitationnelles ou gamma) venues directement du passé de l’univers. Plus celles-ci ont voyagé longtemps - à la vitesse de la lumière, s’entend -, et plus la longueur d’onde qui leur est associée se trouve dilatée par l’expansion de l’univers. En d’autres termes, la lumière des galaxies les plus lointaines est désormais dans l’infrarouge, voire au-delà, dans l’ultraviolet, autant de champs que Hubble peut capter.

Mais ces chiffres ne signifient pas que l’univers, dont la taille demeure inconnue, se compose hic et nunc de 2000 milliards de galaxies. On parle ici d’univers observable, représenté ci-dessus à l’échelle logarithmique (précision utile, il ne s’agit donc pas d’une carte). Autrement dit de galaxies dont les émanations ont eu le temps de nous parvenir depuis un peu plus de 10 milliards d’années. Peut-être plus nombreuses à cette époque, soit «juste» après la formation de l’univers (il y a 13,8 milliards d’années environ), certaines de ces galaxies ont évolué en fusionnant. Par analogie, lorsque vous observez un ciel nocturne bien dégagé, les étoiles que vous voyez n’existent pas forcément. Certaines d’entre elles sont mortes et seule leur lumière vous parvient. En astrophysique, observer un objet ne signifie pas qu’il existe encore mais seulement qu’il a existé dans un intervalle de temps T du passé. Et déterminer le nombre de galaxies qui ont existé permet d’en savoir plus sur l’histoire de l’univers.

22:06 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (3) | |  Facebook | | | |