17/08/2016

Et si on reparlait de la conjecture de Polignac?

polignac.jpgProfitons de l'été pour se rafraîchir les méninges. Et évoquer un problème mathématique relativement aisé à comprendre, au point que mon billet pourra, pour cette fois, faire l’économie de formules. En 1851, le mathématicien français Alphonse de Polignac (1826 - 1863), fils d'un ancien ministre de Charles X et spécialiste de la théorie des nombres, publie son plus célèbre ouvrage, reprinté en 2011. Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Il y énonce une conjecture qui le fit connaître deux ans plus tôt, et dont l'énoncé est extrêmement simple. La conjecture de Polignac affirme que tout nombre pair peut s'écrire d'une infinité de manières comme la différence de deux nombres premiers consécutifs.

Nous voici donc en terrain connu. On reconnaîtra même sans peine là ces cas particuliers que sont les nombres pairs 2, 4 et 6. Lorsque l'écart entre deux premiers consécutifs est égal à 2, on parle ainsi de nombres premiers jumeaux. De cousins lorsqu'il est égal à 4 et de nombres sexy lorsque cet écart vaut 6. La conjecture stipule que ces écarts se répètent une infinité de fois pour tous les nombres pairs. Sans doute, mais comment le prouver? C'est là que tout se complique. Si le problème agite la communauté depuis plus de cent ans, les choses ne bougent pas aussi vite qu’elles le devraient.

De Polignac et de sa conjecture, il fut donc à nouveau question en mai 2013 avec la découverte majeure du Chinois Zhang Yitang, qui établit qu’il existe une infinité de premiers dont l’écart est de moins de 70 millions (7 x 107). Ecart rapidement réduit à 600 dans les mois qui suivirent par James Maynard, brillant mathématicien anglais de 29 ans, puis à 246 grâce au projet Polymath8. Et ensuite ? Ensuite, il faudrait prouver que la conjecture d’Elliot-Halberstam, dont j’avais parlé dans un précédent billet, est valide pour descendre à 12 ou 6. Et pour parvenir à 2 et prouver la conjecture des jumeaux ? Là, on ne sait trop. Il faudra sans doute repasser par la conjecture de Hardy-Littlewood, généralisation de la conjecture des jumeaux, par celle de Goldbach, qui prend in fine le problème dans un autre sens, relire tout ce qui a été écrit sur l’aride hypothèse H de Schinzel, suivre attentivement les publications de Terence Tao (l’un des plus grands mathématiciens du monde, qui plus est d’une admirable clarté), voire transiter par différentes conjectures (Bateman-Horn, Dickson) abordant le problème de la densité des nombres premiers à grands renforts de logarithmes. Tout cela sans oublier l’hypothèse de Riemann, qui n’est jamais très loin lorsqu’on évoque les premiers.

En attendant de revenir dans un prochain billet sur les écarts entre premiers (prime gaps), on peut même supposer, même si je ne le pense pas, que la conjecture de Polignac est fausse en-dessous d’un certain nombre pair, forcément inférieur à 246. Dans tous les cas, des preuves de la conjecture des jumeaux, comme des démonstrations de sa fausseté, circulent allègrement sur le net. Mais la conjecture de Polignac peut-elle être erronée ? Oui, d’autant plus qu’une autre de ses conjectures, soi-disant vérifiée jusqu’à 3 millions, qui stipulait que tout nombre impair est égal à une puissance de 2 plus un nombre premier, s’est effondrée. La proposition vaut en effet jusqu’à 125, mais s’écroule à partir de 127, nombre qu’il est impossible d’écrire sous la forme d’une puissance de 2 sommée à un premier. Le Hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a même démontré qu’il existe une infinité de contre-exemples à l’assertion. Preuve qu’il ne faut jamais trop se fier à son instinct en mathématiques.

 

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24/07/2016

Pourquoi les nombres de Liouville nous fascinent-ils?

factorielle.jpgA chaque langage ses conventions, ses symboles, son vocabulaire. Celui des maths n’y fait pas exception. Un exemple au hasard. Placé après un nombre (ou chiffre), le point d'exclamation exprime une factorielle. Le petit tableau ci-dessus permettra de comprendre la notion de factorielle sans qu'il soit nécessaire de l'assortir d'une longue explication. Produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n, la factorielle n ! s'utilise en combinatoire, mais pas seulement. Sa stricte définition se traduit par la formule ci-dessous, où le Pi majuscule désigne un produit sur un intervalle donné, parfois infini (à l'instar du sigma majuscule pour l'addition).

déf fact.png

Plus intéressant, observons les sommes des inverses des factorielles via cette forme générique :
inverses fact.pngLe cas x = 1 nous permet de retrouver une vieille connaissance :

esomme.pngSoit la constante e, nombre transcendant (mais n'anticipons pas) et base du logarithme naturel. Il est la somme de cette série, qui consiste en fait à décomposer la fonction logarithmique en série entière. On peut dès lors constater que les inverses des factorielles donnent les coefficients du développement de la fonction exponentielle. Plus simplement:plusimple.pngMais venons-en à Liouville. Dans un roman paru récemment, La Formule de Stokes, roman, audin.jpgque je vous conseille fortement, la Française Michèle Audin rappelle la beauté du plus connu des nombres de Liouville, parfois surnommé constante de Liouville. Célèbre mathématicien français, Joseph Liouville (1809 – 1882, portrait ci-contre) liouvilleportait.jpegs’est en effet intéressé à des nombres relativement proches des séries logarithmiques vues ci-dessus. Leur forme générique est donnée par la formulegénérique liouville.png

 

 

 

avec b plus grand que 1 et les ak compris entre 0 et b – 1.

Le plus fameux de ces nombres est donc la constante de Liouville :

constanteliouville.png

Les positions des 1, de plus en plus espacés parmi les 0, y correspondent aux factorielles successives de l'ensemble des entiers naturels. Magnifique, non ? Il s’agit là d’un nombre réel mais surtout de l’un des premiers exemples de réel transcendant, c’est-à-dire, par opposition aux nombres algébriques, qu’il n’est racine d’aucune équation polynomiale. La chose se démontre aisément, et vous en trouverez facilement la preuve sur plusieurs sites, preuve que je ne reproduis pas ici afin de ne pas rallonger ce billet. La transcendance du nombre e ne sera quant à elle établie que plus tard, soit en 1873. L’ensemble des nombres de Liouville, qui se construisent tous sur le même modèle, a par ailleurs la puissance du continu. Autrement dit, il est équipotent à celui des nombres réels. J’avais déjà consacré un billet à ces passionnantes questions de cardinalité et de hiérarchie dans les infinis et y reviendrai d’ailleurs bientôt. Au XXe siècle, le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a démontré que tout nombre réel non nul peut s’écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. Problème ardu sur lequel j’espère revenir dans un prochain billet.

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14/07/2016

Et hop, une planète naine de plus dans le système solaire!

naine.pngLe tracé orange sur le graphique ci-dessus dévoile son orbite. Son nom ? 2015 RR245. Bien sûr, il est provisoire. Et désigne une nouvelle planète naine qu’on vient de découvrir dans notre système solaire. Elle se trouve encore plus loin que Neptune ou Pluton. On estime sa taille à 700 km. Détectée par un programme de recherches sur les traces du relevé des origines du système solaire externe, 2015 RR245 est un objet transneptunien. Près ou à l'intérieur de ce qu’on nomme la ceinture de Kuiper, ceux-ci semblent fort nombreux, sont les plus primitifs du système solaire et orbitent donc très loin. Découverte en février de cette année, 2015 RR245 possède une orbite très elliptique (on le voit clairement sur le schéma) dont la période avoisine les 700 ans. On suppose que cette orbite est stable depuis environ 100 millions d’années. Elle atteindra son périhélie (position la plus proche du soleil) en 2096. Elle demeure néanmoins, avec Pluton et Eris, l’une des plus grosses planètes naines découvertes parmi les objets transneptuniens. Rappelons que cinq planètes naines ont été répertoriées à ce jour dans le système solaire : Pluton, Eris, Makémaké, Haumea et Cérès, dont il fut souvent question dans ce blog. Mais il existe 404 objets transneptuniens qui pourraient être des planètes naines potentielles. Parmi ceux-ci, Charon, Sedna et Salacie. La liste changera sans doute dans les mois à venir. Je vous tiendrai au courant.

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