05/02/2017

Tous les nombres entiers ont-ils un «premier-maison» ?

maison.jpgCertes, ce n’est pas la conjecture la plus essentielle de la recherche en mathématiques, et elle est même tenue pour un problème destiné aux amateurs, mais elle a l’avantage de la clarté. En d’autres termes, elle est aussi aisée à comprendre qu’à expliquer. Qu’est-ce qu’un «premier-maison» et comment l’obtient-on ? Noté HP(n), - pour «home prime», bien sûr -, il s’obtient en plusieurs étapes. Il faut d’abord décomposer le nombre composé n en produit de facteurs premiers, et cela sans utiliser les puissances, quitte donc à répéter plusieurs fois les mêmes facteurs. On construit dès lors un second nombre en concaténant, c’est-à-dire en mettant bout à bout, tous les premiers obtenus par cette factorisation. Puis on répète ce processus jusqu’à ce qu’on tombe sur un nombre premier. Celui-ci est alors appelé HP(n). Voici un exemple avec le nombre 10.

10 = 2 x 5

25 = 5 x 5

55 = 5 x 11

511 = 7 x 73

773 est premier

Donc HP(10) = 773

Si n est premier, le résultat est bien sûr HP(n) = n. La chose semble élémentaire, et pourtant, elle reste à l’état de conjecture. Tout simplement parce que l’existence d’un «premier-maison» n’est pas avérée pour tous les nombres composés inférieurs à 1000 (et encore moins pour les autres). Ainsi, après plus de cent itérations, le processus pour HP(49) n’est pas terminé et on obtient même des facteurs premiers gigantesques de près de 200 chiffres. Il va sans dire que HP(49) = HP(77) = HP(711), et ainsi de suite. On conjecture donc que pour tout nombre composé, il existe un «premier-maison», et que l’algorithme brièvement décrit ci-dessus se termine toujours. Jusqu’à preuve du contraire (un seul contre-exemple suffirait). Cette conjecture étant considérée comme mineure, on en trouve peu de traces sur internet et encore moins dans les revues spécialisées.

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04/02/2017

«La Propera Pell», signes extérieurs d’opacité

properapell-still-13.jpgLe cinéma n’est souvent qu’affaire de profondeur de champ. Deux personnages dans un environnement visiblement hostile – la neige, le froid, l’hiver -, peut-être perdus dans cette opacité brumeuse qui les isole. Partiellement muets, les bouches obstruées par des écharpes protectrices, ils se suivent à une distance raisonnable au lieu de marcher côte à côte. Quant à leurs regards, ils portent chacun dans des directions différentes du champ ou du hors-champ. Le jour a l’air de tomber, encore que de telles teintes soient possibles, suivant les lieux et les saisons, en pleine journée. Autour d’eux, une sorte d’abstraction enneigée et montagneuse ne permet pas de situer l’endroit où nous sommes. Le point est fait sur le garçon qui se trouve le plus proche de la caméra, pendant que les contours de l’autre se noient dans le flou d’arrière-plan symptomatique de ce genre de valeur. Point de hasard dans ces choix, et la vision de La Propera Pell, cosigné par Isaki Lacuesta et Isa Campo, le confirme sans insistance.

Le héros du film, c’est celui qu’on voit le moins sur cette image, qui demeure en retrait et dont le flou empêche même de deviner les traits. La métaphore est directe, presque trop simple, faisant écho à l’un des thèmes du film, ce questionnement sur l’identité que la fiction fait dévier vers une réflexion sur le mensonge et le doute. Gabriel, disparu depuis huit ans, est retrouvé dans un foyer pour délinquants. Sa mère le reconnaît immédiatement, mais le doute va pourtant s’insinuer dans un récit dont les lignes brisées entretiennent un curieux sentiment de perte, et cela avec une élégance peu fréquente. Sur un thème extrêmement proche, la cinéaste Agnieszka Holland avait signé en 1992 un très beau drame au traitement néanmoins plus conventionnel et binaire, Olivier, Olivier.

Mais revenons sur cette image, qui synthétise décidément presque trop bien un film dont les ramifications thématiques ne sont heureusement pas toutes fixées dès le premier quart d’heure. Le cadrage est en effet tel que nos yeux ne cessent de passer d’un personnage à l’autre sans que nous n’arrivions à trouver de lien autre que contextuel entre eux. Sont-ils frères ? Amis ? Amants ? Se connaissent-ils vraiment ? Rien ne permet de répondre à ces questions au cœur de ce cadre. Pourtant, toutes ces interrogations vont insensiblement surgir à différents degrés diégétiques, et nourrir une intrigue dont la conclusion risque de surprendre plus d’un, ne serait-ce que grâce à l’économie dont elle réussit à faire preuve là où d’autres se seraient complus dans un pathos élémentaire. En cela, synthèse et métaphore – celles-là dont je parlais précédemment – sont bien réelles. La partie (le plan, le photogramme, le cliché destiné à illustrer nos textes sur ce film, pieusement choisi, comme il se doit, par la production) dit le tout, le détail devient l’ensemble. Tout cela procède d’une intelligence du cinéma dont La Propera Pell sera aujourd’hui un digne représentant, du moins parmi les films à voir ces jours.

La Propera Pell passe en ce moment aux cinémas du Grütli.

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03/02/2017

Quels secrets cachent les grands écarts entre nombres premiers ?

ecarts.jpgOn sait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Et on sait qu’on peut trouver des suites de nombres composés arbitrairement longues. En d’autres termes, que les écarts entre nombres premiers successifs peuvent donc être eux aussi arbitrairement longs. Justement, je vous propose aujourd’hui d’observer brièvement ces écarts. Mis à part celui entre 2 et 3, ils sont tous pairs, ce qui est logique. Jusqu’au nombre 389, l’écart le plus fréquent est 2, signe distinctif des nombres premiers jumeaux, dont l’infinitude demeure à l’état de conjecture. Et puis cela change ! Lorsqu’on grimpe un peu dans la liste, c’est le nombre 6 qui s’impose alors comme l’écart le plus courant entre deux premiers consécutifs, preuve que la densité de ceux-ci décroit, ce qui n’a rien de surprenant (j’ai du reste déjà consacré plusieurs billets au théorème des nombres premiers et n’y reviendrai pas dans celui-ci). Est-ce que 6 reste champion ad aeternam ? Bien sûr que non.

Mais pour établir la liste des champions suivants dans un intervalle donné (qui bien sûr se calcule avec précision, via les logarithmes et sous une forme parente, pour faire simple, avec la formule de Legendre - mais j’ai choisi de ne pas citer les formules fixant cet intervalle afin de ne pas alourdir ce billet), de simples calculettes ne suffisent assurément plus. Vers 1,7 x 1036, un nouveau champion apparaît parmi ces écarts : il s’agit de 30. Détrôné à son tour vers 5,81 x 10428 par 210. Toujours plus loin, les champions successifs sont 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230 et 200560490130. Evidemment, ces différents écarts ne signifient pas que leurs prédécesseurs n’apparaissent plus. Des premiers successifs différant de 2, 6 ou 30 surgissent ainsi encore, même si leur fréquence baisse nettement. Mais revenons à cette liste de champions prenant gaillardement la première place du podium les uns après les autres:

2 – 6 – 30 – 210 – 2310 – 30030 – 510510 – 9699690 – 223092870 - 6469693230 – 200560490130

Rien ne vous frappe, dans cette liste? Les plus perspicaces auront sans doute remarqué qu’il s’agit de la suite des primorielles. Soit

2

2 x 3 = 6

2 x 3 x 5 = 30

2 x 3 x 5 x 7 = 210

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

Et ainsi de suite.

Par définition, la primorielle d’un entier désigne le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à cet entier. Ces résultats sur les écarts entre nombres premiers ("prime gap" en anglais), et en l’occurrence entre grands nombres premiers, ne peuvent assurément pas être fortuits. Trois mathématiciens, Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein et Marek Wolf, ceux-là même qui ont conduits les calculs informatiques pour les déterminer, en ont déduit une conjecture (des "jumping champions", ou champions sauteurs), mieux, un énoncé dont personne ne peut censément douter. Le hic, c’est comment l’utiliser pour faire avancer l’ensemble des problèmes ouverts dans ce domaine. La réponse n’est pas simple, et de nombreux sites anglo-américains – le problème semble moins abordé chez les francophones – planchent régulièrement dessus. J’y reviendrai prochainement de manière plus abstraite avec quelques formules et égalités qu’il sera nécessaire d’énoncer ou de rappeler à ce moment-là.

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