24/05/2018

Variations autour de l’infini (1)

infini.jpgL’infini est un concept purement mathématique qui ne recouvre aucune réalité physique. Cette vérité est dure à entendre, et encore plus malaisée à comprendre. Affirmer, penser ou croire l'inverse repose sur une confusion fréquente entre l’immensément grand et l’infini en soi, autrement dit ce qui n’a pas de fin. Dans les deux cas intervient la notion de comptage, qui, là aussi et dans les deux occurrences, dépasse souvent une vie humaine, et même une vie remontant à, mettons, dix générations, ce qui pour certains peut représenter, à défaut de l’être, l’infini. On tend souvent vers l’infini, et pas seulement dans les limites en mathématiques, mais on ne l’égalise jamais. Car l’infini n’est pas un nombre, il est ce vers quoi on tend (ou pas), un symbole, si l’on préfère (représenté par le lemniscate), que la vision de deux miroirs qui se font face permet d’entrevoir. Ce qui est immensément grand, même lorsque c’est hors de portée de notre entendement – les bornes de l’univers, le nombre d’atomes contenus dans la Voie lactée, et autres collections d’objets plus ou moins analogues – est par définition impossible à compter dans un laps de temps contenu entre douze mois et mille ans, par exemple. Laps de temps fermé donc fini. Tout ce qui est physique s’inscrit dans semblable intervalle et possède une borne. Le nombre d’atomes contenus dans l’univers est fini. Le nombre de nos ancêtres, même à supposer qu’on puisse remonter aux origines de notre espèce, également.

Le nombre de livres possible est lui aussi fini (relisez La Bibliothèque de Babel de Borges, qui en fournit d’élégantes preuves). Le nombre de films possible est à son tour fini. Il suffit pour cela de décomposer chaque photogramme en milliers de particules lumineuses puis d’y appliquer le schéma borgesien. Le nombre obtenu sera gigantesque, il faudra encore le multiplier par le nombre de photogrammes combinés à tous les autres, dans une incessante spirale, et on obtiendra un nombre sans doute trop petit pour être contenu dans une bibliothèque qui aurait la taille de notre système solaire. Il n’empêche que cela resterait un nombre fini. Le même raisonnement aboutit à des paradoxes. Le nombre d’espèces contenues dans l’univers entier est fini, tout comme le nombre de sites internet envisageables, celui des fruits, légumes et mauvaises herbes qui pousseront sur terre jusqu’à la fin du monde, et les secondes égrenant la somme de toutes les vies humaines apparues depuis le début de l’humanité. Idem pour les individus, tous différents entre eux, mais pas de manière infinie.

La perspective mathématique ouvre d’autres horizons. Il y existe des nombres univers. Et infinis (mais l’un est le corollaire de l’autre, si on me permet ce raccourci sémantique). Projections mentales, non représentables. Exemple ce nombre constitué de la suite de tous les entiers, de leur concaténation, suite pour le coup infinie. Il contient n’importe quelle séquence finie possible de chiffres autant de fois qu’on le désire. On suppose que Pi et racine carrée de 2 sont des nombres univers, mais ce n’est pas prouvé. Je puis même supposer qu’ils ne le sont pas, aucune preuve, y compris par l’absurde, ne pourra étayer mes convictions. Et puis il y eut Cantor, qui découvrit l’impensable, des infinis de tailles différentes. Les transfinis, puisque c’est d’eux qu’il s’agit, ensembles avec ou sans bijections, dénombrables ou pas, inclusions sans fin et hypothèse du continu, aujourd’hui considérée comme indécidable.

Et ceci amène cela. Les problèmes non résolus en mathématiques coincent tous sur leur infinitude. Démontrer l’hypothèse de Riemann reviendrait à passer en revue tous les zéros (non triviaux) de la fonction zêta, jusqu’à l’infini. Certains y sont parvenus pour des très grands nombres, mais même un milliard de milliard de milliards reste dérisoire par rapport à l’infini. La conjecture des premiers jumeaux ne pourra se prouver que lorsque son infinitude sera domptée. Semblable perspective terrorisa plusieurs générations de chercheurs qui butèrent sur le théorème de Fermat. Jusqu’à ce qu’Andrew Wiles, au XXe siècle, résolve l’affaire et atteigne le Graal après plus de 350 ans d’échecs. Et s’il fond en larmes lorsqu’il l’évoque dans un documentaire à lui consacré, au moment où il réalise qu’il a dompté Fermat, s’il éclate en sanglots à cet instant précis, c’est parce qu’il sait qu’il vient de toucher l’infini. Le geste est sublime, il ne survient qu’une fois par siècle et vaut tous les trésors de ce monde fini qui est le nôtre.

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30/01/2018

Votre date de naissance est-elle contenue dans un nombre premier ?

collage.jpgVous n’y échapperez pas. Oui, il existe au moins un nombre premier qui contient votre date de naissance, et un autre qui commence par elle. Mieux, il en existe une infinité de chaque. La chose n’est évidemment, on s’en doute, pas aisée à prouver, et repose sur l’association qu’on peut faire entre les nombres premiers et les nombres univers, lesquels contiennent n’importe quelle séquence de chiffres. Tout part en fait d’un théorème démontré par Dirichlet au XIXe siècle. Dans sa version simplifiée, il est facile à comprendre. Soit a et b, deux entiers. S’ils sont premiers entre eux, c’est-à-dire s’ils n’admettent aucun diviseur commun (comme 2 et 3, 11 et 21, 9 et 49, etc), alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b. Si a et b ne sont pas premiers entre eux et possèdent des diviseurs communs, alors il existe au plus un nombre premier de la forme an + b.

C’est la généralisation du théorème de Dirichlet, établie en 1959 par le Polonais Sierpinski, qui permet de voir plus grand, si j’ose dire. En effet, si a1, a2, a3, ….., an sont des chiffres compris entre 0 et 9, et b1, b2, b3, …., bm des chiffres choisis entre 1, 3, 7 et 9 (qui sont les quatre terminaisons possibles pour un nombre premier, aussi grand soit-il), alors il existe une infinité de nombres premiers qui peuvent s’écrire en base 10 sous la forme

a1a2a3…an   …..  b1b2b3…bm.

Je vous épargne la démonstration, non sans préciser qu’entre la séquence des a et celle des b, peuvent s’intercaler bien sûr autant de chiffres qu’on veut. Car ce qui nous intéresse, c’est le corollaire direct et pratique de ce théorème. A savoir que n’importe quelle séquence de chiffres donnée est contenue dans une infinité de nombres premiers. Plus schématiquement, on trouve tout ce qu’on veut dans les nombres premiers. C’est là la définition d’un nombre univers, soit un nombre qui contient toutes les séquences de chiffres une infinité de fois. Y compris donc votre date de naissance, toutes les symphonies de Beethoven parfaitement codées, et même la Recherche de Proust elle aussi sous forme codée. Pour l’anecdote, on ignore à ce jour si toute séquence finie apparaît dans les décimales de Pi (π), donc si celui-ci est un nombre univers. En revanche, le nombre d’Erdös en est un.

Voici ses premières décimales:

0,235711131719232931374143475359........ et ainsi de suite à l’infini. Mais faut-il vraiment vous expliquer comment il se forme? Pour les lecteurs assidus de mon blog, ce sera un jeu d’enfant de le décrire et même de le continuer.

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24/01/2018

Les records mathématiques ont-ils encore un sens ?

mersenne.jpgLa nouvelle vous aura sans doute échappés, mais le 26 décembre 2017, un nouveau nombre premier de Mersenne a été découvert et validé par un certain Jonathan Pace, du Tennessee, via le projet GIMPS, qui relie d’innombrables computers – tels ceux sur cette image - à travers le monde. Il s’agirait du cinquantième premier de Mersenne, du moins si l’on émet l’hypothèse que la liste des 49 précédents n’en omet aucun dans l’intervalle. Rappelons en deux lignes qu’un nombre premier de Mersenne (du nom d’un moine français des XVIe et XVIIe siècles) est un nombre de la forme 2n – 1 avec n premier, condition nécessaire mais pas suffisante pour la primalité du nombre. On ignore s’il en existe un nombre infini.

Fin décembre, on a donc établi que M77232917, soit 277232917 – 1, était un premier de Mersenne. Il s’agit même du plus grand nombre premier détecté à ce jour. Il compte d’ailleurs 910807 chiffres de plus que le précédent record. Plus amusant, il se compose de 23249425 chiffres, il faudrait 54 jours pour l’écrire, et il s’étendrait sur 118 kilomètres de long ou 9000 pages de livre. Pour démontrer sa primalité, il a fallu environ 14 années, puis six jours de vérification intensive. Donc du courage et de la patience.

La chasse aux Mersenne continue, évidemment, et vous pouvez même télécharger un logiciel, Prime95, pour en traquer peut-être de plus grands (il y a des récompenses sous forme d’argent à la clé). Mais en même temps, une autre question se pose, fatalement. Cette chasse aux grands premiers, sachant que ne seront découverts que des nombres trop démesurés pour être manipulables, a-t-elle encore un sens ? Une utilité ? Une portée scientifique ? Ou s’agit-il de records pour des records ? D’une quête gratuite, ludique et sans enjeux ? A quoi nous sert-il de connaître ces premiers gigantesques aux millions de chiffres (ou digits) que seule leur écriture sous forme de puissances de 2 permet de manipuler avec plus ou moins d’aisance ? Sans doute à rien, même dans le domaine complexe de la cryptographie. Mais dans le domaine des nombres premiers, les mystères sont encore trop nombreux pour qu’on puisse se permettre de négliger quoi que ce soit, y compris lorsqu’il s’agit de battre des records de ce type. Les premiers de Mersenne n’ont pas encore révélé tous leurs secrets. Et si leur infinitude est conjecturable (et probable), elle s’assimile peut-être aussi à un leurre. Allez, démontrer l’un ou l’autre devrait prendre encore quelques dizaines ou centaines d’années.

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