Mathématiques

  • Pourquoi la conjecture de Syracuse résiste-t-elle?

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    syracuse2.jpgCe n'est pas la Syracuse de la chanson. Mais elle comporte de la poésie quand même - exemple dans le graphe ci-dessus -, comme dans tout ce qui résiste en mathématiques. C'est à l'université américaine de Syracuse que la conjecture, diffusée par l'algébriste Helmut Hasse, prit son nom. Exposée à l'origine par un mathématicien allemand passionné par les itérations dans les nombres entiers, Lothar Collatz, elle s'appele également conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3n + 1. Il s'agit d'une hypothèse qui stipule que pour n'importe quel entier positif, la suite de Syracuse finit par atteindre 1. Regardons de plus près. D'abord en expliquant ce qu'est la suite de Syracuse, qui se définit par récurrence de manière extrêmement simple. Soit un entier u, strictement supérieur à 0. La suite de Syracuse de ce nombre (son successeur, si vous préférez) se définit dès lors ainsi, pour tout entier naturel n.

    Capture d’écran 2019-07-10 à 22.07.06.pngEn d'autres termes, si le nombre est pair, on le divise par deux. Et s'il est impair, on le multiplie par 3 en y ajoutant 1. Puis on répète ce processus itératif autant de fois que nécessaire. Jusqu'à atteindre le nombre 1, après lequel une même boucle se répète indéfiniment en un cycle de valeur 3 qu'on surnomme le cycle trivial. (1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2,...). Mais finit-on toujours par atteindre le nombre 1? Toujours, c'est-à-dire tôt ou tard? Il semble bien que oui. Réponse insatisfaisante en mathématiques. La conjecture est vraie ou fausse, à la rigueur indécidable. Dans le cas de celle de Syracuse, on a tenté de tester assez loin, jusqu'à des nombres de six milliards de milliards de chiffres. Qui tous finissent par déboucher sur le cycle trivial. Ce qui tend à prouver la véracité de la conjecture, sans toutefois la... démontrer. Il suffirait en effet d'un seul contre-exemple pour établir sa fausseté. La concernant, le célèbre mathématicien Paul Erdös affirmait: "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes".
    C'est que le défi, qui porte sur tous les nombres jusqu'à l'infini, semble hors de portée. Même lorsqu'on tente de l'approcher par un algorithme inverse, c'est-à-dire en partant de 1 pour tenter de rejoindre tous les nombres. Même en passant par l'écriture binaire. Un vocabulaire spécifique adapté à la suite de Syracuse permet d'observer graphiquement le comportement de certains nombres et le temps qu'ils mettent, ou prennent, avant d'atterrir, littéralement, sur le nombre 1. On parle ainsi de temps de vol, d'altitude maximale et de temps de vol en altitude (certaines trajectoires sont d'ailleurs spectaculairement longues), ce qui permet parfois de formuler différemment la conjecture.
    Pour que la conjecture soit fausse, il faudrait soit tomber sur un cycle autre que le cycle trivial mentionné plus haut, soit aboutir à une suite qui diverge à l'infini. Ce qui est malheureusement fort improbable (mais donc pas exclu), comme certains arguments probabilistes nous l'enseignent. Reste le cas d'un autre cycle que (1, 4, 2) pour le moment non détecté, sinon que son existence hypothétique serait une suite composée de plus de 17 milliards d'éléments! Ces deux sous-problèmes étant tout autant insolubles, nous voici revenus au point de départ. Face à une conjecture désarmante de simplicité lorsqu'on l'énonce, des dizaines de mathématiciens se sont arrachés les cheveux depuis des décennies. Et cela risque bien de continuer.

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  • Les nombres de Lychrel existent-ils?

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    nombres2.jpgCelles et ceux qui goûtent les palindromes, ces mots qui se lisent dans les deux sens, apprécieront peut-être les constructions mathématiques qui vont suivre. D'autant plus qu'elles débouchent sur l'un de ces problèmes ouverts qui semblent nous défier pour l'éternité et qu'on peut résumer en une seule question: les nombres de Lychrel existent-ils? Mais de quoi s'agit-il? De nombres théoriques mis au jour par un certain Wade VanLandingham, qui leur a donné ce nom pour créer un presque anagramme avec le prénom de sa fiancée (Cheryl). Pour faire simple, un nombre de Lychrel est un nombre naturel qui ne peut pas former un palindrome lorsqu'on le soumet au processus itératif consistant à l'additionner à son miroir, c'est-à-dire au nombre formé par ses chiffres inversés. Un exemple clarifiera immédiatement l'affaire. Prenons un nombre au hasard: 59. Additionnons-le à son miroir, soit 95 :


    59 + 95 = 154


    Sur ce, on répète l'opération :


    154 + 451 = 605


    Jusqu'à obtenir un joli palindrome :


    605 + 506 = 1111


    Pour ce nombre, seules trois itérations ont été nécessaires avant d'atterrir sur un palindrome. Ce qui signifie que ni 59 ni 95 ne sont des nombres de Lychrel - ni 154, 451, 605 et 506. Mais il en faut parfois davantage (d'itérations). Avec le nombre 89, cela va un peu moins vite, puisqu'il en faut vingt-quatre. Quant au record du nombre d'itérations, ou plutôt du palindrome le plus retardé, il est détenu en ce moment par 1 186 060 307 891 929 990, qui nécessite 261 itérations avant de tomber sur un beau palindrome formé de 119 chiffres. Paradoxe, c'est un algorithme qui a permis de le découvrir, alors qu'il n'existe aucun algorithme permettant de contourner les opérations d'addition et d'inversion. Notons encore  que 80 % des nombres en dessous de 10 000 aboutissent à un palindrome en moins de 4 itérations, et environ 90 % en moins de 7.
    Mais tout cela ne nous amène pas pour autant à un nombre de Lychrel. Mieux, on n'en connaît à ce jour aucun. En revanche, il y a des candidats. Soit des nombres pour lesquels cela ne marche pas. C’est-à-dire pour lesquels le processus d'itération ne semble jamais s'arrêter. Le plus petit de ces candidats est le nombre 196, qui mérite qu'on s'y attarde quelques instants. Suspecté d'être un Lychrel, 196 attire l'attention de plusieurs mathématiciens. Le 12 août 1987, John Walker lance une recherche via un programme qui vérifie les itérations et produit un rapport toutes les deux heures. Trois ans plus tard, le 24 mai 1990, le programme s'arrêtait après 2 415 836 itérations sur un nombre d'un million de chiffres. Et sans trace de palindrome.
    En 1995, un certain Tim Irvin prend le relais. En trois mois, il obtient un nombre de deux millions de chiffres. Qui n'est pas un palindrome, on s'en doute. Jason Doucette continue sur la même lancée. En mai 2000, il débouche sur un nombre de 12,5 millions de chiffres. Toujours pas de palindrome en vue. C'est là qu'intervient Wade VanLandingham, bien décidé à continuer les investigations. Avec le même programme, il passe le cap des 13 millions, et le 1er mai 2006, atteint même la barre impressionnante des 300 millions de chiffres. Evidemment sans palindrome en vue. En d'autres termes, 196 a tout du parfait candidat. C'est le cas d'autres nombres, comme 887, 1495, 1497, 1945, 1947 ou 1997. Pour le moment, tous les candidats de moins de 17 chiffres ont été identifiés.
    Actuellement, on est incapable de montrer pourquoi le processus d'itération ne s'arrête pas pour ces nombres-là. Du moins en base 10. Car pour certaines bases, il est prouvé que des Lychrel existent. Des tentatives de démonstration de l'existence des Lychrel en base dix fleurissent ici ou là, dont une fort intéressante qui stipule que celle-ci est due à une brisure de symétrie dans l'espace des nombres analogue à celle que l'on retrouve en physique des particules. Aucune des conjectures liées aux nombres de Lychrel n’est pour l’instant mise à prix.

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  • Guérison du cancer, sécurité bancaire en péril, addiction à «Candy Crush» : a-t-on résolu le problème P = NP ?

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    P NP.jpgSi vous êtes attentifs et accro aux news de toute provenance, il ne vous aura sans doute pas échappé qu’en août 2017, un mathématicien allemand, Norbert Blum, affirmait avoir résolu le plus célèbre problème ouvert de mathématiques et d'informatique théorique, soit le problème P = NP, concluant par la négative que P n'est pas égal à NP. La communauté, qui se penche depuis sur la question et les 38 pages de sa démonstration, n'a pas encore rendu son verdict, tout en laissant entendre qu'il y a peut-être une erreur dans son raisonnement. C'est que l'enjeu est énorme. Il y a d'abord la récompense d'un million de dollars (décerné par le Clay Mathematics Institute). Et ensuite la renommée mondiale que cette démonstration impliquerait. Le problème P = NP a été énoncé pour la première fois dans les années 70. Il s'agit d'une conjecture dont l'importance est fondamentale dans l'histoire des sciences. Tenter de la présenter n'est pas le plus simple des exercices et j'y serai sans doute moins à l'aise que Siraj Raval, dont voici la chaîne YouTube (https://www.youtube.com/channel/UCWN3xxRkmTPmbKwht9FuE5A), et dont je recommande le visionnement de plusieurs vidéos, comme s'il n'avait déjà pas assez de clics.
    De manière caricaturale, on pourrait réduire les définitions de P et NP en affirmant qu’on a d’un côté les problèmes (mathématiques) faciles à résoudre (P) et de l’autre ceux qui ne le sont pas (ou moins) (NP). Les problèmes dits de classe P peuvent en effet être décidés (et résolus) en temps polynomial par une machine de Turing ou apparentée. Donc se décomposer en un algorithme ou une suite de calculs relativement basiques que les ordinateurs peuvent exécuter assez rapidement. Ceux de classe NP (pour «nondeterministic polynomial time») ne peuvent pas être résolus si rapidement. Pire, le nombre de solutions qu’ils comportent pose problème, et ne présupposent pas forcément l’existence d’un algorithme. Prenons un exemple concret, celui de la décomposition d’un nombre entier en facteurs premiers. Facile ? Non, pas si le nombre est trop grand. Car il faut alors tenter de le diviser par tous les facteurs premiers inférieurs, et cela peut prendre un temps infiniment long. Sans algorithme, même les plus puissants des ordinateurs n’en viendraient pas à bout assez vite. Et prendraient parfois jusqu’à plusieurs milliers d’années pour casser le nombre. C’est d’ailleurs sur ce type de clés que repose la sécurité bancaire, vous me suivez ?

    carte.jpgLe problème du voyageur de commerce, qui consiste à déterminer le chemin le plus court pour passer dans plusieurs villes une et une seule fois sur un circuit donné, est fréquemment utilisé pour illustrer ce qu’on appelle un problème NP-complet - j’y consacrerai un autre billet prochainement. Ce joli graphe ci-dessus l’illustre et un petit détour par la théorie des graphes est elle aussi au menu d’un billet futur. Dans l’attente, revenons à l’interrogation cruciale mise à prix par le Clay Institute. Et rappelons qu’à l’heure actuelle, on ne sait pas si P = NP, si P ≠ NP ou si l’égalité est non décidable, et cela même si certains chercheurs isolés affirment avoir démontré la chose. En revanche, on sait que P est inclus dans NP. Soit, mais à quoi tout cela mène-t-il ? Si on ramène l’égalité P = NP à une question, on peut la formuler ainsi : lorsqu’une solution à un problème est rapidement vérifiable, peut-elle être rapidement trouvée ? Autrement dit, peut-on trouver en temps polynomial ce que l'on peut prouver en temps polynomial?

    Intuitivement, la plupart des mathématiciens pensent que P ≠ NP, et c’est sans doute le cas. Mais si c’était l’inverse, si P = NP était vrai, alors cela changerait la face du monde. En effet, entre autres implications, cela signifierait, en médecine, qu’on pourrait soigner certaines formes de cancer. Si des algorithmes suffisaient à prouver que des problèmes complexes n’étaient que des variantes de problèmes simples (P = NP), une meilleure compréhension du processus conférant leur structure aux protéines permettrait ainsi d’empêcher qu’il ne s’en forme des anormales, et donc à terme freiner, voire stopper la prolifération de certaines catégories de cancer. Le chiffrement des données bancaires, lui, serait sacrément mis à mal, et casser un code de 256-bit (c’est généralement celui qui est utilisé pour vos cartes bancaires) serait assez aisé, du moins si le temps pour décomposer un nombre très grand en facteurs premiers diminuait, ce qu’on peut supposer si P = NP. Même chose pour la protection des données et des informations sur Internet, a priori déjà fragilisées. Il faudrait tout revoir (après un probable krach informatique mondial), d’autant plus que les protocoles de sécurité sur le net reposent tous sur le fait que…  P ≠ NP.

    Ce n’est évidemment pas tout. On pourrait alors viser plus haut et tenter de déterminer une partie d’échecs parfaite ou encore résoudre le casse-tête posé par ce jeu addictif et sucré nommé «Candy Crush», qui se pratique aussi bien sur smartphone que derrière un écran : tous deux sont en effet considérés comme des problèmes NP-complets. Pour l’instant, nous en sommes loin. Et comme la solution du problème risque d’être P ≠ NP, toutes ces séduisantes hypothèses risquent bien de s’effondrer comme châteaux de sable.

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