05/02/2017

Tous les nombres entiers ont-ils un «premier-maison» ?

maison.jpgCertes, ce n’est pas la conjecture la plus essentielle de la recherche en mathématiques, et elle est même tenue pour un problème destiné aux amateurs, mais elle a l’avantage de la clarté. En d’autres termes, elle est aussi aisée à comprendre qu’à expliquer. Qu’est-ce qu’un «premier-maison» et comment l’obtient-on ? Noté HP(n), - pour «home prime», bien sûr -, il s’obtient en plusieurs étapes. Il faut d’abord décomposer le nombre composé n en produit de facteurs premiers, et cela sans utiliser les puissances, quitte donc à répéter plusieurs fois les mêmes facteurs. On construit dès lors un second nombre en concaténant, c’est-à-dire en mettant bout à bout, tous les premiers obtenus par cette factorisation. Puis on répète ce processus jusqu’à ce qu’on tombe sur un nombre premier. Celui-ci est alors appelé HP(n). Voici un exemple avec le nombre 10.

10 = 2 x 5

25 = 5 x 5

55 = 5 x 11

511 = 7 x 73

773 est premier

Donc HP(10) = 773

Si n est premier, le résultat est bien sûr HP(n) = n. La chose semble élémentaire, et pourtant, elle reste à l’état de conjecture. Tout simplement parce que l’existence d’un «premier-maison» n’est pas avérée pour tous les nombres composés inférieurs à 1000 (et encore moins pour les autres). Ainsi, après plus de cent itérations, le processus pour HP(49) n’est pas terminé et on obtient même des facteurs premiers gigantesques de près de 200 chiffres. Il va sans dire que HP(49) = HP(77) = HP(711), et ainsi de suite. On conjecture donc que pour tout nombre composé, il existe un «premier-maison», et que l’algorithme brièvement décrit ci-dessus se termine toujours. Jusqu’à preuve du contraire (un seul contre-exemple suffirait). Cette conjecture étant considérée comme mineure, on en trouve peu de traces sur internet et encore moins dans les revues spécialisées.

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03/02/2017

Quels secrets cachent les grands écarts entre nombres premiers ?

ecarts.jpgOn sait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Et on sait qu’on peut trouver des suites de nombres composés arbitrairement longues. En d’autres termes, que les écarts entre nombres premiers successifs peuvent donc être eux aussi arbitrairement longs. Justement, je vous propose aujourd’hui d’observer brièvement ces écarts. Mis à part celui entre 2 et 3, ils sont tous pairs, ce qui est logique. Jusqu’au nombre 389, l’écart le plus fréquent est 2, signe distinctif des nombres premiers jumeaux, dont l’infinitude demeure à l’état de conjecture. Et puis cela change ! Lorsqu’on grimpe un peu dans la liste, c’est le nombre 6 qui s’impose alors comme l’écart le plus courant entre deux premiers consécutifs, preuve que la densité de ceux-ci décroit, ce qui n’a rien de surprenant (j’ai du reste déjà consacré plusieurs billets au théorème des nombres premiers et n’y reviendrai pas dans celui-ci). Est-ce que 6 reste champion ad aeternam ? Bien sûr que non.

Mais pour établir la liste des champions suivants dans un intervalle donné (qui bien sûr se calcule avec précision, via les logarithmes et sous une forme parente, pour faire simple, avec la formule de Legendre - mais j’ai choisi de ne pas citer les formules fixant cet intervalle afin de ne pas alourdir ce billet), de simples calculettes ne suffisent assurément plus. Vers 1,7 x 1036, un nouveau champion apparaît parmi ces écarts : il s’agit de 30. Détrôné à son tour vers 5,81 x 10428 par 210. Toujours plus loin, les champions successifs sont 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230 et 200560490130. Evidemment, ces différents écarts ne signifient pas que leurs prédécesseurs n’apparaissent plus. Des premiers successifs différant de 2, 6 ou 30 surgissent ainsi encore, même si leur fréquence baisse nettement. Mais revenons à cette liste de champions prenant gaillardement la première place du podium les uns après les autres:

2 – 6 – 30 – 210 – 2310 – 30030 – 510510 – 9699690 – 223092870 - 6469693230 – 200560490130

Rien ne vous frappe, dans cette liste? Les plus perspicaces auront sans doute remarqué qu’il s’agit de la suite des primorielles. Soit

2

2 x 3 = 6

2 x 3 x 5 = 30

2 x 3 x 5 x 7 = 210

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

Et ainsi de suite.

Par définition, la primorielle d’un entier désigne le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à cet entier. Ces résultats sur les écarts entre nombres premiers ("prime gap" en anglais), et en l’occurrence entre grands nombres premiers, ne peuvent assurément pas être fortuits. Trois mathématiciens, Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein et Marek Wolf, ceux-là même qui ont conduits les calculs informatiques pour les déterminer, en ont déduit une conjecture (des "jumping champions", ou champions sauteurs), mieux, un énoncé dont personne ne peut censément douter. Le hic, c’est comment l’utiliser pour faire avancer l’ensemble des problèmes ouverts dans ce domaine. La réponse n’est pas simple, et de nombreux sites anglo-américains – le problème semble moins abordé chez les francophones – planchent régulièrement dessus. J’y reviendrai prochainement de manière plus abstraite avec quelques formules et égalités qu’il sera nécessaire d’énoncer ou de rappeler à ce moment-là.

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31/01/2017

La liste de Hilbert est-elle encore d'actualité?

hilbert2.jpgEn 1900, lors du deuxième congrès international des mathématiciens, David Hilbert, connu pour avoir développé l'axiomatisation de la géométrie et la théorie des invariants (entre autres), a proposé une liste de 23 problèmes alors non résolus. Je ne vais évidemment pas tous les citer dans le détail. Il faudrait de nombreuses pages pour cela, même de manière synthétique. Plus de 110 ans après, qu'en reste-t-il? Premier constat, onze d'entre eux ont été résolus, démontrés ou infirmés. Exemple avec le dixième, qui consistait à trouver un algorithme afin de déterminer si une équation diophantienne (ou polynomiale, avec plusieurs inconnues et des solutions entières) avait des solutions. L'affaire a été résolue en 1970 par Matiiassevitch, non sans utiliser pour cela les nombres de Fibonacci, sur lesquels je consacrerai un billet dans l'année. Résultat de ce problème, un tel algorithme est impossible à trouver.

Parmi les douze problèmes restants, l'un d'entre eux a été prouvé indécidable. Il s'agit de l'hypothèse du continu, souvent évoquée lorsqu'on parle des différentes formes d'infinis. Trois autres problèmes sont partiellement résolus, et deux autres sont à la frontière de l'indécidabilité, dont celui sur la différentiabilité des groupes de Lie. Enfin, le quatrième problème, à savoir définir toutes les géométries dont les géodésiques sont des droites, il a été jugé trop vague. Bilan des opérations, il reste encore cinq problèmes non résolus. Et en réalité sept!

Soit le 6e, qui consisterait à déterminer une axiomatisation de la physique sur la base d'un modèle mathématique. Le 12e, qui exigerait d'étendre le théorème de Kronecker-Weber à tous les corps de nombres. Le 16e, qui porte sur les courbes algébriques, et le 23e, qui aborde le calcul des variations. Et enfin, il y a le 8e. Désormais le plus célèbre de tous, puisqu'il contient le Saint-Graal. Pour une raison qui le regarde, et qu'on a le droit aujourd'hui de trouver absurde, Hilbert a en effet regroupé sous ce numéro trois conjectures qui entretiennent une certaine parenté, voire une parenté directe, les unes avec les autres. C’est-à-dire l’hypothèse de Riemann, la conjecture de Goldbach et la conjecture des nombres premiers jumeaux. J’ai dédié à ces trois problèmes ouverts bon nombre de billets dans mon blog, et j’en écrirai encore d’autres en cours d’année, mais on peut constater qu’aujourd’hui, l’hypothèse de Riemann, pour ne citer qu’elle, est un peu la star des conjectures en attente de résolution en mathématiques. Elle mériterait donc de figurer en première position dans semblable liste.

Cent ans après Hilbert, dont la liste est devenue obsolète, même si la résolution de plusieurs problèmes a considérablement favorisé les avancées mathématiques au XXe siècle, l’institut de mathématiques Clay a mis sur pied en 2000 une nouvelle liste, les problèmes du prix du millénaire. Ces sept défis réputés insurmontables sont dotés d’’un prix d’un million de dollars chacun pour celui ou celle qui les résoudrait. A ce jour, seul l’un d’entre eux, la conjecture de Poincaré, a été résolue. En tête de liste figure cette fois en toute logique l’hypothèse de Riemann, la plus convoitée et célèbre de toutes, talonnée par le crucial problème P = NP. Quant aux quatre autres, elles demandent un bagage trop conséquent pour être exposées ici.

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