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  • Peut-on démontrer les jumeaux sans calcul ?

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    jumeaux.jpgPour démontrer la conjecture des premiers jumeaux, tenter l’approche philosophique sans aucun calcul, même si elle n’a pas valeur de preuve, a le mérite de clarifier certaines notions et de simplifier le chemin pour y parvenir. Supposons que la conjecture soit fausse. Ce qui signifierait qu’il existe une ultime paire de premiers (p,q) telle que leur différence, en valeur absolue, soit égale à 2. Notons que cela invaliderait également la conjecture de Polignac, dont il ne sera pas ici question. Cette ultime paire de jumeaux serait alors suivie par des paires non jumelles dont la différence (en valeur absolue toujours) resterait de la forme 2k, mais avec k strictement plus grand que 1. On sait, sans en faire grand-chose en l’état, que les écarts entre premiers successifs croissent. Ce qui peut sembler logique. Sauf que cette croissance n’est pas tout à fait inutile à observer, puisque, parmi n écarts dans un intervalle donné, on en trouve toujours un qui domine les autres. En d’autres termes qui apparaît plus souvent. Les premiers écarts qui s’imposent sont 2, 6, 30, 210, puis 2310, et ainsi de suite. On reconnaîtra là aisément la suite des primorielles (c’est-à-dire le produit de tous les premiers inférieurs au nombre servant de borne). Mais la domination des uns ne sous-entend pas la disparition des autres. Je m’explique. Si la valeur 2 (primorielle de 2) est fréquente au début, elle est ensuite supplantée par 6 (primorielle de 3), mais sans que 2 disparaisse de la liste pour autant.

    Ainsi, la suite de ces écarts se comporte avec une tolérance qui nous arrange. Si la conjecture des jumeaux est vraie, cela signifie que la valeur 2 continuera à apparaître lorsqu’on tend vers l’infini, quitte à se faire attendre un temps immensément long. Si la conjecture est fausse, il arriverait dès lors un moment où ladite valeur ne surgirait plus, et cela dans un intervalle borné à l’infini. Il faut se pencher sur la première hypothèse et ce temps immensément long que peut mettre une valeur pour apparaître. Et l’entendre au sens strict.

    Qu’est-ce qu’un temps immensément long ? Ce serait par exemple le temps d’une vie. Imaginons une personne qui vivrait jusqu’à cent ans et qui depuis sa naissance, compterait les entiers à partir d’un point p dans l’espoir de trouver une paire de jumeaux. Et qui n’en trouverait aucune. Et rendrait son dernier souffle sans qu’aucune paire de jumeaux ne soit venue tromper sa quête. Ce temps-là n’est pas encore immensément long. Il faut l’étendre, par exemple à un milliard d’années. Se peut-il qu’en comptant tous les entiers, et en supposant résolus les critères de divisibilité qui s'ensuivraient, on (en l’occurrence, des milliers, voire des millions de générations d’individus) ne trouve plus aucune paire de jumeaux durant ce milliard d’années ? Malheureusement oui. Mais selon la logique gouvernant la suite des écarts, une telle paire devrait pourtant finir par apparaître.

    Par analogie, comparons cela à la suite des décimales de Pi (possible nombre univers, même si ce n’est pas prouvé). Quelle est la probabilité pour que la Recherche de Proust y apparaisse cryptée mais dans l’ordre et en entier ? Elle est infime, mais pas nulle. En l’occurrence, elle existe bel et bien. Tôt ou tard, la Recherche de Proust, tout comme votre date de naissance, une infinité de fois, apparaît bien dans les décimales de Pi. Sans doute après un temps immensément long et donc non quantifiable, mais en aucun cas infini. L’infini, limite et concept, reste pourtant l’obstacle majeur à toute démonstration irrésolue, de Riemann à Hodge. Dans l’harmonie des premiers, supposer la conjecture des jumeaux fausse pourrait sembler paradoxal, d’autant plus que le travail a déjà été fait pour des valeurs de 2k avec k supérieur à 1. Car si l’occurrence avec k = 1 se mettait à ne plus apparaître, invalidant les jumeaux, y aurait-il une raison valable pour que les autres occurrences de 2k elles aussi continuent à surgir ? Non, toutes finiraient par se raréfier et par se dissoudre dans le grand bain de l’infini, jetant le discrédit sur des travaux précédemment validés. Dès lors, l’intuition prend le pas sur la démonstration.

    Supposer qu’une valeur d’écart minimale, soit 2k avec k = 1, n’apparaisse plus jamais au-delà d’un certain point (ou borne), c’est nier la confiance qu’on peut placer dans cette harmonie qui semble sous-tendre la théorie des nombres, même lorsque la fonction zêta s’entête à résister (chez Riemann ou Euler). Supposer que cette valeur d’écart minimale ne puisse jamais être atteinte, et qu’il en existe toujours une autre pour déjouer la précédente et défier la concaténation des entiers naturels qu’on ne peut même plus formuler comme des sommes de puissances plus 1 lorsque ceux-ci tendent vers l’infini, c’est faire fi des calculs et du rigorisme démonstratif dont la recherche mathématique a besoin. Il faudra pourtant s’en contenter. Si la conjecture des jumeaux est vraie, c’est parce qu’elle ne peut pas être fausse, et encore moins indécidable (contrairement par exemple à l’hypothèse du continu, qui ne l’est peut-être d’ailleurs pas non plus). Et si la conjecture des jumeaux était fausse, la liste des premiers finirait par s’arrêter. Ce qui est impossible, comme on le sait depuis Archimède.

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  • Ils nous ont quittés en mars 2020

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    bose.jpgPremière star décédée des suites du coronavirus, l’Italienne Lucia Bosè mit peu de films à nous convaincre. Dès ses débuts, en 1950 chez Giuseppe De Santis puis chez Antonioni, la grâce était là, intangible et réelle. Les années 50 furent pour elle une décennie d’exception, Antonioni à nouveau, puis Luciano Emmer, puis Buñuel, puis le Bardem de Mort d’un cycliste, puis Cocteau. La suite fut plus discrète et on peut regretter que l’actrice ait souvent été si rare, si épisodique, se contentant de productions peu médiatisées, de rôles de second plan. Voici comme chaque mois la liste des principaux disparus du cinéma et de la culture.

    Pierre BENICHOU, journaliste français (1er mars 1938 – 31 mars 2020).

    Didier BEZACE, acteur français (10 février 1946 – 11 mars 2020.)

    Lucia BOSÈ, actrice italienne (28 janvier 1931 – 23 mars 2020.)

    André CHERET, dessinateur de bande dessinée français (27 juin 1937 – 5 mars 2020.)

    Suzy DELAIR, actrice française (31 décembre 1917 – 15 mars 2020.)

    Maurice DELBEZ, réalisateur français (28 juillet 1922 – 23 mars 2020.)

    Manu DIBANGO, chanteur camerounais (12 décembre 1933 – 24 mars 2020.)

    François FLOREY, comédien suisse (1966 – 25 mars 2020).

    Stuart GORDON, réalisateur américain (11 août 1947 – 24 mars 2020.)

    Edouard LIMONOV, écrivain russe (22 février 1943 – 17 mars 2020.)

    Liesbeth LIST, chanteuse néerlandaise (12 décembre 1941 – 25 mars 2020.)

    Tonie MARSHALL, réalisatrice française (29 novembre 1951 – 12 mars 2020.)

    Krzysztof PENDERECKI, compositeur et chef d’orchestre polonais (23 novembre 1933 – 29 mars 2020.)

    Kenny ROGERS, chanteur américain (31 août 1938 – 20 mars 2020.)

    Jean-Louis ROY, réalisateur suisse (1938 – 29 mars 2020.)

    Karl SAURER, cinéaste et scénariste suisse (16 juin 1943 – 12 mars 2020).

    Max von SYDOW, acteur franco-suédois (10 avril 1929 – 8 mars 2020.)

    Albert UDERZO, dessinateur français (25 avril 1927 – 24 mars 2020.)

    Stuart WHITMAN, acteur américain (1er février 1928 – 16 mars 2020.)

    Bill WITHERS, auteur-compositeur-interprète américain (4 juillet 1938 – 30 mars 2020).

  • Ils nous ont quittés en février 2020

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    douglas.jpgbaby.jpgCommenter n’est guère utile. Ce mois de février vit partir deux plus que centenaires, le légendaire Kirk Douglas et la délicieuse Baby Peggy, qui n’était plus une enfant depuis longtemps mais vouait une passion communicative pour Hollywood. L’inclassable Hector, l’irrévérencieuse Claire Bretécher, l’inusable Graeme Allwright, firent eux aussi partie du voyage. Voici comme chaque mois la liste des principaux disparus du cinéma et de la culture.

    Graeme ALLWRIGHT, auteur-compositeur-interprète franco-néo-zélandais (7 novembre 1926 – 16 février 2020).

    BABY PEGGY, actrice américaine (29 octobre 1918 – 24 février 2020).

    Hervé BOURGES, dirigeant de l’audiovisuel français (2 mai 1933 – 23 février 2020).

    Claire BRETECHER, auteure de BD et illustratrice française (17 avril 1940 – 10 février 2020).

    Gueorgui CHENGUELAIA, réalisateur géorgien (11 mai 1937 – 17 février 2020).

    Claire CLOUZOT, journaliste et réalisatrice française (2 août 1933 – 2 février 2020).

    Robert CONRAD, acteur américain (1er mars 1935 – 8 février 2020).

    Ben COOPER, acteur américain 30 septembre 1933 – 24 février 2020).

    Kirk DOUGLAS, acteur américain (9 décembre 1916 – 5 février 2020).

    Marlies GRAF, cinéaste suisse (1er octobre 1943 – 12 février 2020).

    Pierre GUYOTAT, écrivain français (9 janvier 1940 – 7 février 2020).

    HECTOR, chanteur français (20 octobre 1946 – 19 février 2020).

    JEAN-DANIEL, journaliste français (21 juillet 1920 – 19 février 2020).

    Liliane de KERMADEC, réalisatrice française (6 octobre 1928 – 13 février 2020).

    Gene REYNOLDS, acteur et réalisateur américain (4 avril 1923 – 3 février 2020).

    George STEINER, linguiste français (23 avril 1929 – 3 février 2020).

    Ann E. TODD, actrice américaine (26 août 1931 – 7 février 2020).

    Joseph VILSMAIER, réalisateur allemand (24 janvier 1939 – 11 février 2020).

    Sonja ZIEMANN, actrice allemande (8 février 1926 – 17 février 2020).