Mathématiques

  • Peut-on démontrer les jumeaux sans calcul ?

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    jumeaux.jpgPour démontrer la conjecture des premiers jumeaux, tenter l’approche philosophique sans aucun calcul, même si elle n’a pas valeur de preuve, a le mérite de clarifier certaines notions et de simplifier le chemin pour y parvenir. Supposons que la conjecture soit fausse. Ce qui signifierait qu’il existe une ultime paire de premiers (p,q) telle que leur différence, en valeur absolue, soit égale à 2. Notons que cela invaliderait également la conjecture de Polignac, dont il ne sera pas ici question. Cette ultime paire de jumeaux serait alors suivie par des paires non jumelles dont la différence (en valeur absolue toujours) resterait de la forme 2k, mais avec k strictement plus grand que 1. On sait, sans en faire grand-chose en l’état, que les écarts entre premiers successifs croissent. Ce qui peut sembler logique. Sauf que cette croissance n’est pas tout à fait inutile à observer, puisque, parmi n écarts dans un intervalle donné, on en trouve toujours un qui domine les autres. En d’autres termes qui apparaît plus souvent. Les premiers écarts qui s’imposent sont 2, 6, 30, 210, puis 2310, et ainsi de suite. On reconnaîtra là aisément la suite des primorielles (c’est-à-dire le produit de tous les premiers inférieurs au nombre servant de borne). Mais la domination des uns ne sous-entend pas la disparition des autres. Je m’explique. Si la valeur 2 (primorielle de 2) est fréquente au début, elle est ensuite supplantée par 6 (primorielle de 3), mais sans que 2 disparaisse de la liste pour autant.

    Ainsi, la suite de ces écarts se comporte avec une tolérance qui nous arrange. Si la conjecture des jumeaux est vraie, cela signifie que la valeur 2 continuera à apparaître lorsqu’on tend vers l’infini, quitte à se faire attendre un temps immensément long. Si la conjecture est fausse, il arriverait dès lors un moment où ladite valeur ne surgirait plus, et cela dans un intervalle borné à l’infini. Il faut se pencher sur la première hypothèse et ce temps immensément long que peut mettre une valeur pour apparaître. Et l’entendre au sens strict.

    Qu’est-ce qu’un temps immensément long ? Ce serait par exemple le temps d’une vie. Imaginons une personne qui vivrait jusqu’à cent ans et qui depuis sa naissance, compterait les entiers à partir d’un point p dans l’espoir de trouver une paire de jumeaux. Et qui n’en trouverait aucune. Et rendrait son dernier souffle sans qu’aucune paire de jumeaux ne soit venue tromper sa quête. Ce temps-là n’est pas encore immensément long. Il faut l’étendre, par exemple à un milliard d’années. Se peut-il qu’en comptant tous les entiers, et en supposant résolus les critères de divisibilité qui s'ensuivraient, on (en l’occurrence, des milliers, voire des millions de générations d’individus) ne trouve plus aucune paire de jumeaux durant ce milliard d’années ? Malheureusement oui. Mais selon la logique gouvernant la suite des écarts, une telle paire devrait pourtant finir par apparaître.

    Par analogie, comparons cela à la suite des décimales de Pi (possible nombre univers, même si ce n’est pas prouvé). Quelle est la probabilité pour que la Recherche de Proust y apparaisse cryptée mais dans l’ordre et en entier ? Elle est infime, mais pas nulle. En l’occurrence, elle existe bel et bien. Tôt ou tard, la Recherche de Proust, tout comme votre date de naissance, une infinité de fois, apparaît bien dans les décimales de Pi. Sans doute après un temps immensément long et donc non quantifiable, mais en aucun cas infini. L’infini, limite et concept, reste pourtant l’obstacle majeur à toute démonstration irrésolue, de Riemann à Hodge. Dans l’harmonie des premiers, supposer la conjecture des jumeaux fausse pourrait sembler paradoxal, d’autant plus que le travail a déjà été fait pour des valeurs de 2k avec k supérieur à 1. Car si l’occurrence avec k = 1 se mettait à ne plus apparaître, invalidant les jumeaux, y aurait-il une raison valable pour que les autres occurrences de 2k elles aussi continuent à surgir ? Non, toutes finiraient par se raréfier et par se dissoudre dans le grand bain de l’infini, jetant le discrédit sur des travaux précédemment validés. Dès lors, l’intuition prend le pas sur la démonstration.

    Supposer qu’une valeur d’écart minimale, soit 2k avec k = 1, n’apparaisse plus jamais au-delà d’un certain point (ou borne), c’est nier la confiance qu’on peut placer dans cette harmonie qui semble sous-tendre la théorie des nombres, même lorsque la fonction zêta s’entête à résister (chez Riemann ou Euler). Supposer que cette valeur d’écart minimale ne puisse jamais être atteinte, et qu’il en existe toujours une autre pour déjouer la précédente et défier la concaténation des entiers naturels qu’on ne peut même plus formuler comme des sommes de puissances plus 1 lorsque ceux-ci tendent vers l’infini, c’est faire fi des calculs et du rigorisme démonstratif dont la recherche mathématique a besoin. Il faudra pourtant s’en contenter. Si la conjecture des jumeaux est vraie, c’est parce qu’elle ne peut pas être fausse, et encore moins indécidable (contrairement par exemple à l’hypothèse du continu, qui ne l’est peut-être d’ailleurs pas non plus). Et si la conjecture des jumeaux était fausse, la liste des premiers finirait par s’arrêter. Ce qui est impossible, comme on le sait depuis Archimède.

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  • Hypothèse de Riemann, y aurait-il du nouveau?

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    riemann.jpgLes zéros non triviaux de la fonction zêta n'ont pas fini de nous empêcher de dormir. Toujours irrésolue, l'hypothèse de Riemann, qui reste l'un des sept problèmes du millénaire, a bien failli récemment chuter de son piédestal, mais l'affaire a tourné court. Rappelons en gros en quoi consiste cette hypothèse, déjà abordée et résumée dans plusieurs billets de mon blog qu'on peut retrouver dans la section "mathématiques". Pour faire simple et concis, quitte à sauter des étapes par dizaines, la conjecture stipule que les zéros de la fonction zêta (somme infinie portant sur les inverses des nombres entiers avec des puissances en nombres complexes), c'est-à-dire les valeurs pour lesquelle cette fonction s'annule, contrôlent la répartition des nombres premiers. Si l'hypothèse était vraie, la fonction zêta permettrait alors d'estimer avec précision la distribution des nombres premiers. Vous avez à peu près suivi et surtout entrevu l'importance d'une telle démonstration, si elle a lieu un jour? En ce cas, la tentative récente pour en venir à bout peut vous intéresser.
    Car, peut-être inspiré par le génie d'Andrew Wiles qui démontra Fermat il y a quelques années en passant par des outils de la théorie des nombres a priori sans grand rapport avec l'identité impossible laissée en marge d'un traité de Diophante par l'un des plus grands esprits scientifiques du XVIIe siècle, un groupe de mathématiciens a récemment repris une approche abandonnée pour démontrer Riemann. Une piste qui remonte à 1927. Cette année-là, un mathématicien hongrois avait établi une relation d'équivalence entre l'hypothèse de Riemann et un autre problème, soit l'hyperbolicité de certains polynômes dits de Jensen, qui se définissent par leur degré et leur décalage. Si leurs zéros étaient tous réels, alors ces polynômes seraient dits hyperboliques. Reste à prouver que c'est le cas. Et le souci, c'est qu'il existe une infinité de ces polynômes.
    C'est donc récemment que quatre mathématiciens ont opéré une avancée en démontrant cette hyperbolicité pour une grande classe de polynômes de Jensen. Mais pas tous. Pas jusqu'à l'infini. Pire, leur approche est considérée comme trop difficile pour être généralisée et aboutir à une démonstration en bonne et due forme de l'hypothèse de Riemann. Ce qui nous ramène (presque) à la case départ. Rappelons que l'hypothèse de Riemann a été démontrée pour 10¹³ zéros non triviaux de la fonction zêta. Ces zéros ont tous pour partie réelle 1/2. Il suffirait malheureusement qu'on trouve un seul zéro non trivial avec une valeur différente pour que l'hypothèse de Riemann soit définitivement infirmée. En 2018, l'ex-médaillé Fields Michael Atiyah avait tenté une démonstration par l'absurde en supposant qu'un tel contre-exemple existe, justement. Mais il ne semble pas avoir convaincu la communauté mathématique. Pour la suite, rendez-vous dans cent ans, du moins pour la partie de l'humanité qui aura survécu.

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  • Pourquoi la conjecture de Syracuse résiste-t-elle?

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    syracuse2.jpgCe n'est pas la Syracuse de la chanson. Mais elle comporte de la poésie quand même - exemple dans le graphe ci-dessus -, comme dans tout ce qui résiste en mathématiques. C'est à l'université américaine de Syracuse que la conjecture, diffusée par l'algébriste Helmut Hasse, prit son nom. Exposée à l'origine par un mathématicien allemand passionné par les itérations dans les nombres entiers, Lothar Collatz, elle s'appele également conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3n + 1. Il s'agit d'une hypothèse qui stipule que pour n'importe quel entier positif, la suite de Syracuse finit par atteindre 1. Regardons de plus près. D'abord en expliquant ce qu'est la suite de Syracuse, qui se définit par récurrence de manière extrêmement simple. Soit un entier u, strictement supérieur à 0. La suite de Syracuse de ce nombre (son successeur, si vous préférez) se définit dès lors ainsi, pour tout entier naturel n.

    Capture d’écran 2019-07-10 à 22.07.06.pngEn d'autres termes, si le nombre est pair, on le divise par deux. Et s'il est impair, on le multiplie par 3 en y ajoutant 1. Puis on répète ce processus itératif autant de fois que nécessaire. Jusqu'à atteindre le nombre 1, après lequel une même boucle se répète indéfiniment en un cycle de valeur 3 qu'on surnomme le cycle trivial. (1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2,...). Mais finit-on toujours par atteindre le nombre 1? Toujours, c'est-à-dire tôt ou tard? Il semble bien que oui. Réponse insatisfaisante en mathématiques. La conjecture est vraie ou fausse, à la rigueur indécidable. Dans le cas de celle de Syracuse, on a tenté de tester assez loin, jusqu'à des nombres de six milliards de milliards de chiffres. Qui tous finissent par déboucher sur le cycle trivial. Ce qui tend à prouver la véracité de la conjecture, sans toutefois la... démontrer. Il suffirait en effet d'un seul contre-exemple pour établir sa fausseté. La concernant, le célèbre mathématicien Paul Erdös affirmait: "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes".
    C'est que le défi, qui porte sur tous les nombres jusqu'à l'infini, semble hors de portée. Même lorsqu'on tente de l'approcher par un algorithme inverse, c'est-à-dire en partant de 1 pour tenter de rejoindre tous les nombres. Même en passant par l'écriture binaire. Un vocabulaire spécifique adapté à la suite de Syracuse permet d'observer graphiquement le comportement de certains nombres et le temps qu'ils mettent, ou prennent, avant d'atterrir, littéralement, sur le nombre 1. On parle ainsi de temps de vol, d'altitude maximale et de temps de vol en altitude (certaines trajectoires sont d'ailleurs spectaculairement longues), ce qui permet parfois de formuler différemment la conjecture.
    Pour que la conjecture soit fausse, il faudrait soit tomber sur un cycle autre que le cycle trivial mentionné plus haut, soit aboutir à une suite qui diverge à l'infini. Ce qui est malheureusement fort improbable (mais donc pas exclu), comme certains arguments probabilistes nous l'enseignent. Reste le cas d'un autre cycle que (1, 4, 2) pour le moment non détecté, sinon que son existence hypothétique serait une suite composée de plus de 17 milliards d'éléments! Ces deux sous-problèmes étant tout autant insolubles, nous voici revenus au point de départ. Face à une conjecture désarmante de simplicité lorsqu'on l'énonce, des dizaines de mathématiciens se sont arrachés les cheveux depuis des décennies. Et cela risque bien de continuer.

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